也就是開司和利根川玩的那個國王-市民-奴隸的卡牌遊戲
一、首先考慮劇中的設定
假設雙方有n張民牌
王方：王 民 ... 民
奴方：奴 民 ... 民
設
a[n]: 王方勝利的概率
1-a[n]: 奴方勝利的概率
第一局雙方出牌的概率
王方
p[n]：出王的概率 1-p[n]：出民的概率
奴方
q[n]：出奴的概率 1-q[n]：出民的概率
有一個地方我沒懂，雙方的卡牌可以收回去嗎？
如果雙方都出民，那民肯定是要收掉的，不然一直出民，遊戲就永遠不會結束了
但如果一方出的不是民呢？例如雙方出王-民
1、雙方都能保留自己的牌。那雙方可以一直出王或奴，牌就不會損耗；就算這一張牌輸了，但是可以一直拖下去，遊戲永不完結，就沒有意義了
2、王方的王可以保留，奴方的民損耗掉（像是軍棋）
3、雙方的牌都損耗掉，隻是給王方+1分
其實23兩種情況的最後結果沒有區别
四種情況：
p[n]q[n]: 王-奴，奴方勝利
因為接下來奴方可以一直出民，把王方的民全部兌掉即可
如果奴方可以保存這張奴，那最後還能剩一個奴
p[n](1-q[n]): 王-民，王方勝利
因為接下來王方可以一直出民，把奴方的民全部兌掉即可
如果王方可以保存這張王，那最後還能剩一個王+民
(1-p[n])q[n]: 民-奴，王方勝利
因為接下來王方可以一直出民，把奴方的民全部兌掉即可
如果王方可以保存這張民，那最後還能剩一個王
如果王方可以保存這張民，那還可以改成一直出王，把奴方的民全部吃掉，最後全部牌都能存活
(1-p[n])(1-q[n]): 民-民，雙方的牌抵消掉，轉移成雙方n-1張民牌的情況
a[n-1]: 王方勝利
1-a[n-1]: 奴方勝利
特别地，如果n=0（遞推的初始情況）
雙方0張民
王方：王
奴方：奴
此時
a[0] = 0: 王方勝利
1-a[0] = 1: 奴方勝利
出牌概率：
王方：p[0] = 1
奴方：q[0] = 1
總結：
遞推起始條件
a[0] = 0
p[0] = 1
q[0] = 1
遞推式：
a[n] = p[n](1-q[n]) + (1-p[n])q[n] + (1-p[n])(1-q[n])a[n-1]
設王方期望收益：赢了收獲W，輸了賠付S
e[n] = a[n]W - (1-a[n])S
設奴方期望收益：赢了收獲S，輸了賠付W
(1-a[n])S - a[n]W
零和博弈，-e[n]
（其實不妨假設W=1）
納什均衡：
王方收益對q[n]求導，結果為0：當王方這樣選擇時，奴方沒有調整策略的傾向
(-p[n] + (1-p[n]) - (1-p[n])a[n-1]) W
+ (-p[n] + (1-p[n]) - (1-p[n])a[n-1]) S
= (1 - 2p[n] - a[n-1] + p[n]a[n-1]) W
+ (1 - 2p[n] - a[n-1] + p[n]a[n-1]) S
= (1 - 2p[n] - a[n-1] + p[n]a[n-1]) (W+S)
= 0
得到：p[n] = (1-a[n-1]) / (2-a[n-1])
1-p[n] = 1 / (2-a[n-1])
奴方收益對p[n]求導，結果為0：當奴方這樣選擇時，王方沒有調整策略的傾向
與王方的式子完全對稱，所以q[n] = p[n]
再代入遞推式：
a[n]
= p[n](1-q[n]) + (1-p[n])q[n] + (1-p[n])(1-q[n])a[n-1]
= 2 (1-a[n-1]) (2-a[n-1])^2 + a[n-1] / (2-a[n-1])^2
= 1 / (2-a[n-1])
則1-a[n] = (1-a[n-1]) / (2-a[n-1])
1 / (1-a[n]) = (2-a[n-1]) / (1-a[n-1]) = 1 + 1 / (1-a[n-1])
解得
1 / (1-a[n]) = n+1
a[n] = n/(n+1)
p[n] = 1-a[n-1] / (2-a[n-1]) = 1-(n-1)/n / 2-(n-1)/n = 1/n / 1+1/n = 1 / n+1
即：納什均衡策略是雙方完全随機出牌
那麼就等價于：雙方一次性把n+1張牌排好順序全部出出來，然後一起開牌
如果王和奴在同一順位，那麼奴方勝利
否則，王方勝利
結果是一樣的：其實從一開始就這麼考慮的話，最簡單
王方期望收益：赢了收獲W=1，輸了賠付S
a[n]W - (1-a[n])S = n/(n+1) W - 1/(n+1) S
需要S是W的n倍
劇中n=4
第一步以1/5的概率出王/奴，第二步1/4，第三步1/3，第四步1/2，第五步1/1
王方勝率是4/5，奴方是1/5
需要S是W的4倍，才公平
現在S是W的5倍，所以開司占便宜
不過，其實一邊賭的是錢，一邊賭的是耳朵，完全不同，其實也很難說這是幾賠幾
二、考慮劇中的設定的變種：假如雙方每出一張牌就進行一輪結算呢？
之一、假如雙方的牌都能保留自己的牌
那麼張數就沒有多少意義了，相當于石頭剪子布，一方隻能出石頭（民）+布（王），一方隻能出石頭（民）+剪刀（奴）
王方：p的概率出王，1-p的概率出民
奴方：q的概率出奴，1-q的概率出民
四種情況：
pq: 王-奴，奴方收益 S - e，王方收益 -S + e
p(1-q): 王-民，王方收益 W + e
(1-p)q: 民-奴，王方收益 W + e
(1-p)(1-q): 民-民，王方收益 0 + e
e = pq(-S+e) + p(1-q)(W+e) + (1-p)q(W+e) + (1-p)(1-q)e
0 = pq(-S) + p(1-q)W + (1-p)qW
= -pqS + (p+q-2pq)W
e都被約掉了？
的确，王方每次收益應該是恒正，疊加起來會接近于無窮
那麼隻玩一輪才對，那就是
e = pq(-S) + p(1-q)W + (1-p)qW
無論是一輪還是無窮輪，兩者的納什均衡是一樣的：
王方收益對q求導，結果為0：當王方這樣選擇時，奴方沒有調整策略的傾向
0 = -pS + (1-2p)W
p = W / (S+2W)
同理 q = W / (S+2W)
e = -W^2 S / (S+2W)^2 + W (2W / (S+2W) - 2W^2 / (S+2W)^2)
e / W^2 = -S / (S+2W)^2 +(2 / (S+2W) - 2W / (S+2W)^2)
e * (S+2W)^2 / W^2 = -S + (2 (S+2W) - 2W) = S+2W
e = W^2 / (S+2W) > 0 恒成立
S需要盡可能大，使得e趨近于0，才比較公平
不過此時，p = q = W / (S+2W)也會趨近于0，即雙方幾乎都隻出民
的确，王方一直出民，至少可以立于不敗之地
之二、如果雙方都出民，則收掉；否則都保留
四種情況：
p[n]q[n]: 王-奴，奴方收益 S - e[n]，王方收益 -S + e[n]
p[n](1-q[n]): 王-民，王方收益 W + e[n]
(1-p[n])q[n]: 民-奴，王方收益 W + e[n]
(1-p[n])(1-q[n]): 民-民，雙方的牌抵消掉，轉移成雙方n-1張民牌的情況，王方收益 0 + e[n-1]
之三、勝方保留自己的牌（軍棋模式）
1、如果第一輪是民-奴，那麼接下來王方當然一直出王，把奴方的民全部吃掉，每一輪都能赢
2、如果第一輪是王-奴，奴方接下來必須一直兌民，因為再出奴就是白送
3、如果第一輪是王-民，那麼接下來王方如果采用兌民戰術，就可以保證收益大于0，但不夠高
如果接下來還想出王再多吃民，收益可能更高，但王也可能被奴吃回去，比賽回到平局
之四、雙方的牌都消耗掉
四種情況：
p[n]q[n]: 王-奴，奴方收益 S - e[n-1]，王方收益 -S + e[n-1]
p[n](1-q[n]): 王-民，王方收益 W + e[n-1]
(1-p[n])q[n]: 民-奴，王方收益 W + e[n-1]
(1-p[n])(1-q[n]): 民-民，雙方的牌抵消掉，轉移成雙方n-1張民牌的情況，王方收益 0 + e[n-1]
之二三四的情況，以後再算吧
